数学Ⅱ

【高校数学Ⅱ】微分係数の定義 接線の傾き(公式・覚え方・計算方法)

このページでは、数学Ⅱ「微分法」の微分係数の定義をまとめました。

微分係数の公式の覚え方、問題をわかりやすく解説していきます。

問題集を解く際の参考にしてください!

微分係数 定義 アイキャッチ

 

1. 微分係数とは

微分係数とは接線の傾きです。

まずは、微分係数の公式を暗記してください。

これから微分係数の公式と覚え方を説明していきます。

公式

微分係数 公式

 

この公式は、2つの部分に分解することができます。

微分係数 公式 説明

それぞれ「微分係数」「平均変化率」と言います。

 

平均変化率とはなんでしょうか?

 

2. 平均変化率とは

平均変化率とは傾きのことです。

中学では、傾き、変化の割合、 xの増加量 yの増加量 テキストといいました。

高校では、平均変化率といいます。

微分係数 平均変化率 傾き 

 

2点 \( (2,3)、(6,9)\) を結んだ赤線の傾きを見てみましょう。

\(\color{#0000ff}{x}\) の増加量は、ヨコにどれだけ進んだか考えると \(6-2=\color{#0000ff}{4}\) 

\(\color{#008000}{y}\) の増加量は、タテにどれだけ進んだか考えると \(9-3=\color{#008000}{6}\) 

 

傾きは xの増加量 yの増加量 テキスト なので、 \(\displaystyle\frac{\color{#008000}{6}}{\color{#0000ff}{4}}=\color{#ef5350}{\frac{3}{2}}\) となります。 

 

次に、 \(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\) 上の2点 \(\ (2,1)、(4,4)\) の平均変化率をみてみます。

微分係数 平均変化率とは

 

 

それでは 、\( y=f(x) \) のグラフに2点とって平均変化率(傾き)をみてみます。

 

\( y=f(x) \) は複雑に感じますが、やり方はいつもと同じです。

 

例えば…

\( y=x+1 \) のグラフは 

 \( x=1 \) のとき \( y=1+1=2 \)

 \( x=3 \) のとき \( y=3+1=4 \)

 

\( y=f(x) \) のグラフも同様に \( x \) に値を代入します。 

 

\( y=f(x) \) のグラフは

 \( x=1 \) のとき \( y=f(1) \)

 \( x=3 \) のとき \( y=f(3) \)

 \( x=a \) のとき \( y=f(a) \)

 \( x=a+h \) のとき \( y=f(a+h) \)

 

となります。

 

 

それでは 、\( y=f(x) \) 上の2点 \(\ (\ a,f(a)\ )、 (\ a+h,f(a+h)\ )\) の平均変化率(傾き)をみてみます。

微分係数 平均変化率 説明 

 

3. lim とは

微分係数の公式の lim について説明します。

 

 \( \displaystyle \lim_{ x \to 1 } x \)

リミットと読みます。リミットは英語で「極限」を意味する単語です。

リミットの下の \(x →1\) は、「\(x\) の値を限りなく \(1\) に近づける」という意味です。

lim 極限

 

 \( \displaystyle \lim_{ x \to 1 } x \)

意味は「\(x\) の値を限りなく \(1\) に近づける」

計算方法は「\(x\) に \(1\) を代入する」

となります。

 

4. 微分係数と接線の傾き

平均変化率、lim を説明しました。

なぜ、微分係数接線の傾きになるのでしょうか?

 

微分係数 平均変化率 説明 

 

このグラフの \(h\) を限りなく \(0\) に近づけていきます。

 

微分係数 極限 接線

 

 \(x\) 座標の \(a+h\) の \(h\) が \(0\) 近づいていくと、\(a+h\) は \(a\) に近づいていきます。 

2点を結ぶ赤線は下に降りていきます。

 

微分係数 接線 極限

 

 \(h\) が \(0\) に限界まで近づいたとき、赤線は \( x=a\) における接線の傾きになります。

 

微分係数 傾き 接線 極限 平均変化率

 

5. 微分係数の定義

公式

微分係数 公式

この公式を「微分係数の定義」といいます。

 

実際に問題を解いていきます。

問題

\(定義に従って、次の\ x\ における微分係数を求めよ。\\ \\
(1) \ \ f(x)=2x-3\ \ \ \ (x=0) \\ \\
(2) \ \ f(x)=x^2\ \ \ \ \ (x=1) \\
\) 

解き方

微分係数 問題 定義 解き方

(1)の解答

微分係数_問題(1)

(2)の解答

微分係数 問題(2)

問題文に「定義に従って微分係数を求めよ」と書かれていたら、このように解きます。

 

以上が、「微分係数の定義」についての説明です。

 

6. 微分法の公式一覧

数学Ⅱ「微分法」の公式一覧を、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。

公式

微分 数2 微分係数 公式 まとめ

 

5. 微分係数の問題

数学Ⅱ「微分法」の教科書の問題と解答をプリントにまとめています。

教科書の問題は出版社によって異なりますが、主要な教科書に目を通し、すべての問題を網羅するように作っています。

ぜひチェックしてみてください。

 

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