数学B

【高校数学B】【保存版】漸化式 全10パターン (階差・特性方程式・指数・対数・分数)

このページでは、数学Bの「漸化式」全10パターンをまとめました。

漸化式の見分け方と計算方法を、具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。

問題集を解く際の参考にしてください!

数B 漸化式 まとめ 一覧 解答 公式 アイキャッチ

 

1. 漸化式の公式

漸化式(ぜんかしき)と読みます。

数学B「数列」の分野で、重要な分野です。

漸化式の全10パターンをA4(PDF)にまとめました。

PDFはこちら

公式

数B 漸化式 まとめ 一覧 解答 公式 

数字と \(n\) のある場所でどのタイプの漸化式なのか見分けます。

どのパターンかわかったら、初手を覚えてください。

 

例えば…

特性方程式型なら、特性方程式を使う。

分数型なら、逆数をとる。

指数型なら、両辺を \(q^{n+1}\) で割る。

対数型なら、両辺に \(\log\) をとる。

 

初手を覚えたら、あとは計算していくだけです。

 

このように、漸化式の問題では

どのパターンか見分ける

初手を覚える

この2点が重要です。

 

2. 漸化式のフローチャート

漸化式の公式をフローチャートでA4(PDF)でまとめました。

PDFはこちら

公式

数B 漸化式 まとめ 一覧 解答 公式 フローチャート 

 

フローチャートを見れば、全10パターンの重要度がわかります。

やみくもに漸化式を解くのではなく、流れを理解してください。

 

等差型は、特性方程式型が \(p=1\) のときなので特性方程式型に包まれます。

 

分数型、指数型、対数型は、特性方程式型から等比型になります。

 

特性階差型のみ、特性方程式を経由して階差型になります。(等比型になりません)

 

また、部分分数型、階比型は例外なのがわかると思います。

 

次に、実際に問題をときながらわかりやすく解説していきます。

 

3. 漸化式の解き方

3.1 等差型

問題

\(a_1=2\),\(a_{n+1}=a_n + 3 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ

解き方

漸化式 解き方 等差数列 等差型

解答

\(初項  \ 2 \ ,公差 \  3 \ の等差数列なので\\ \\
a_n = 2+(n-1)・3 \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{3n-1}\\
\)

 

3.2 等比型

問題

\(a_1=1\),\(a_{n+1}=2a_n \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ

解き方

漸化式 解き方 等比数列 等比型

解答

\(初項 \ 1 ,公差 \ 2 \ の等比数列\\ \\
a_n = 1・2^{n-1} \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{2^{n-1}}\\
\) 

 

3.3 階差型

問題

\(次の条件によって定まる数列 \ {a_n} \ の一般項を求めよ。\\ \\
(1) a_1=1,a_{n+1}=a_n+3^n \\ \\
(2) a_1=0,a_{n+1}=a_n+2n+1 \\
\)

解き方

漸化式 解き方 階差 階差型

(1) の解答

\(
n ≧ 2 のとき\\ \\
a_n = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \\ \\
\hspace{ 7pt } =  1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 +  \cdots + 3^{n-1}  \\ \\
\hspace{ 25pt } 初項 \ 1,公比 \ 3,項数 \ n \ の等比数列の和\\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle\frac{1・(3^n-1)}{3-1} \\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle \frac{3^n-1}{2}\\ \\ \\
n = 1 のとき\\ \\
a_1 = \displaystyle\frac{3-1}{2} \\ \\
\hspace{ 10pt } = 1 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{\displaystyle{\frac{3^n-1}{2}}}\\
\)

(2) の解答

\(
n ≧ 2 のとき \\ \\
a_n = 0+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k + \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \\ \\
\hspace{ 8pt }= n(n-1) + (n-1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= (n+1)(n-1) \\ \\ \\
n = 1 のとき \\ \\
a_1 = (1-1)(1+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 0 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n = \color{#ef5350}{(n-1)(n+1)}\\
\)

 

3.4 特性方程式型

特性方程式型は、等比型になる漸化式です。

問題

\(a_1=6\),\(a_{n+1}=3a_n-8 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 特性方程式 

解答

漸化式 解答 特性方程式

 

3.5 特性階差型 

特性階差型は、特性方程式型から階差型になる漸化式です。

問題

\(a_1=1\),\(a_{n+1}=3a_n+4n \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 特性階差型

解答

\(
\hspace{ 10pt }a_{n+2}=3a_{n+1}+4(n+1) ……①\\ \\
\hspace{ 10pt }a_{n+1}=3a_n+4n \hspace{ 35pt } ……②\\ \\ \\
②-① より\\ \\
\hspace{ 10pt }a_{n+2}-a_{n+1}=3(\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{a_{n+1}-a_n})+4\\ \\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{a_{n+1}-a_n} とおくと\\ \\
\hspace{ 10pt } b_{n+1}=3b_n+4\hspace{ 20pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{特性方程式型}\\ \\
\begin{cases}
b_{n+1}+2=3(b_n+2)\\ \\
b_1+2=\bbox[#F4E2E2, 3pt, border:]{a_2}-a_1+2=\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{3a_1+4}-a_1+2=8
\end{cases}\\ \\ \\
\left\{b_n+2\right\}\ は初項 \ 8,公比 \ 3 \ の等比数列なので\\ \\
\hspace{ 20pt }b_n+2=8・3^{n-1}\\ \\
\hspace{ 35pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=8・3^{n-1}-2\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{a_{n+1}-a_n}=\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{8・3^{n-1}-2\ }\hspace{ 25pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{階差型}\\ \\ \\
n ≧ 2 のとき\\ \\
a_n = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{8・3^{k-1}-2\ }) \\ \\
\hspace{ 7pt } = 1+ 8\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}}-2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \\ \\
\hspace{ 7pt } =  1 +8( \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{1+3^1 + 3^2 + 3^3 +  \cdots + 3^{n-1}})+2(n-1)  \\ \\
\hspace{ 50pt } \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{初項 \ 1,公比 \ 3,項数 \ n \ の等比数列の和}\\ \\
\hspace{ 10pt } = 1+8×\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{1・(3^n-1)}{3-1}}+2(n-1) \\ \\
\hspace{ 10pt } =4・3^{n-1}-2n-1\\ \\ \\
n = 1 のとき\\ \\
\hspace{ 10pt }a_1 = 4-2-1=1 \\ \\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 15pt }a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{4・3^{n-1}-2n-1}\\
\)

 

3.6 分数型

分数型は、特性方程式型から等比型になる漸化式です。

問題

\(a_1= \displaystyle\frac{1}{5} \),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n}{4a_n-1} \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 分数型

解答

\(
両辺に逆数をとると\\ \\
\hspace{ 10pt }\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{4a_n-1}{a_n} \\ \\ 
\hspace{ 7pt }\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}=-\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{1}{a_n}}+4 \\ \\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{1}{a_n}} とおくと\\ \\
\hspace{ 10pt } b_{n+1}=-b_n+4\hspace{ 20pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{特性方程式型}\\ \\
\begin{cases}
b_{n+1}-2=-(b_n-2)\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{b_1}-2=\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{\displaystyle\frac{1}{a_n}}-2=5-2=3
\end{cases}\\ \\ \\
\left\{b_n-2\right\}\ は初項 \ 3,公比 \ -1 \ の等比数列なので\\ \\
\hspace{ 10pt }b_n-2=3・(-1)^n\\ \\
\hspace{ 23pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=3・(-1)^n+2\\ \\
\hspace{ 20pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{1}{a_n}}=3・(-1)^n+2\\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 15pt }a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{\displaystyle\frac{1}{3・(-1)^n+2}}\\ \\
\)

 

3.7 指数型

指数型は、特性方程式型から等比型になる漸化式です。

問題

\(a_1=3\),\(a_{n+1}=2a_n+3^{n+1} \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 指数型

解答

\(
両辺を\  3^{n+1} \ で割ると\\ \\
\hspace{ 10pt }\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{2a_n}{3^{n+1}}+1 \\ \\ 
\hspace{ 6pt }\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{2}{3}・\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\frac{a_n}{3^n}}+1 \\ \\ 
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{a_n}{3^n}} とおくと\\ \\
\hspace{ 10pt } b_{n+1}=\displaystyle\frac{2}{3}b_n+1\hspace{ 20pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{特性方程式型}\\ \\
\begin{cases}
b_{n+1}-3=\displaystyle\frac{2}{3}(b_n-3)\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{b_1}-3=\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{\displaystyle\frac{a_1}{3}}-3=1-3=-2
\end{cases}\\ \\ \\
\left\{b_n-3\right\}\ は初項 \ -2,公比\  \displaystyle\frac{2}{3} \ の等比数列なので\\ \\
\hspace{ 10pt }b_n-3=-2\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\\ \\
\hspace{ 23pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=-2\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\\ \\
\hspace{ 20pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{a_n}{3^n}}=-2\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3 \\ \\
よって\\ \\ 
\hspace{ 15pt }a_n =3^n\left\{-2\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+3\right\}\\ \\
\hspace{ 25pt } =\displaystyle \color{#ef5350}{-3・2^n+3^{n+1}}\\ \\
\)

 

3.8 対数型

対数型は、特性方程式型から等比型になる漸化式です。

問題

\(a_1=1\),\(a_{n+1}=2\sqrt{a_n} \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 対数型

解答

\(
両辺に\  \log_2 \ をとると\\ \\
\hspace{ 10pt }\log_2{a_{n+1}}=\log_2{2\sqrt{a_n}} \\ \\
\hspace{ 10pt }\log_2{a_{n+1}}=\log_2{2}+\log_2{\sqrt{a_n}} \\ \\
\hspace{ 10pt }\log_2{a_{n+1}}=\displaystyle\frac{1}{2}\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\log_2{a_n}}+1 \\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\log_2{a_n}} とおくと\\ \\
\hspace{ 10pt } b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}b_n+1\hspace{ 20pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{特性方程式型}\\ \\
\begin{cases}
b_{n+1}-2=\displaystyle\frac{1}{2}(b_n-2)\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{b_1}-2=\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{\log_2{1}}-2=0-2=-2
\end{cases}\\ \\ \\
\left\{b_n-2\right\}\ は初項 \ -2,公比\  \displaystyle\frac{1}{2} \ の等比数列なので\\ \\
\hspace{ 10pt }b_n-2=-2\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\ \\
\hspace{ 20pt }b_n=2-2・2^{1-n}\\ \\
\hspace{ 20pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=2-2^{2-n}\\ \\
\hspace{ 20pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\log_2{a_n}}=2-2^{2-n} \\ \\
よって\\ \\ 
\hspace{ 15pt }a_n =\color{#ef5350}{2^{2-2^{2-n}}}\\ \\
\)

 

3.9 階比型

階比型は、 \(a_1\) になるまで漸化式を繰り返して解きます。

問題

\(a_1=3\),\((n+1)a_{n+1}=(n-1)a_n \ \ \ (n≧2)\) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 階比型

解答

\(
\hspace{ 10pt }a_{n+1}=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\ \bbox[#F4E2E2, 3pt, border:]{a_n} \\ \\
\hspace{ 25pt }=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}・\bbox[#F4E2E2, 3pt, border:]{\frac{n-2}{n}\ \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{a_{n-1}}} \\ \\
\hspace{ 25pt }=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}・\frac{n-2}{n}・\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\frac{n-3}{n-1}\ a_{n-2}} \\ \\
\hspace{ 25pt }=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}・\frac{n-2}{n}・\frac{n-3}{n-1}・…・\frac{1}{3}\ a_1 \\ \\
\hspace{ 25pt }=\color{#ef5350}{\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}}
\)

 

 

3.10 部分分数分解型

部分分数分解型は、階差型から部分分数分解していく漸化式です。

問題

\(a_1=2\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{n+2}{n}a_n+1 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式 解き方 部分分数分解型 階差型 階差数列

解答

\(
両辺を\ \displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)}\ でわると\\ \\ 
\hspace{ 10pt }\displaystyle\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\frac{a_n}{n(n+1)}}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}=\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle\frac{a_n}{n(n+1)}} とおくと\\ \\
\hspace{ 10pt } b_{n+1}=b_n+\displaystyle\frac{1}{(n+1)(n+2)}\hspace{ 20pt }\bbox[yellow, 2pt, border:]{階差型}\\ \\
\hspace{ 10pt }\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{b_1}=\bbox[#DEEBF7, 3pt, border:]{\displaystyle\frac{a_1}{1・2}}=\displaystyle\frac{2}{2}=1\\ \\
n ≧ 2 のとき\\ \\
\hspace{ 10pt }b_n = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ \\
\hspace{ 22pt }  = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2} \right)\\ \\
\hspace{ 22pt } =1+\left\{\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \right\} \\ \\
\hspace{ 22pt } = 1 + \displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1} \\ \\
\hspace{ 22pt } = \displaystyle \frac{3n+1}{2(n+1)}\\ \\ \\
n = 1 のとき\\ \\
\hspace{ 10pt }b_1 = \displaystyle\frac{4}{2・2} =1\\ \\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 33pt } \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b_n}= \displaystyle \frac{3n+1}{2(n+1)}\\ \\
\hspace{ 5pt } \displaystyle\frac{a_n}{n(n+1)}= \displaystyle \frac{3n+1}{2(n+1)}\\ \\
\hspace{ 35pt }a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{\displaystyle{\frac{n(3n+1)}{2}}}\\
\)

 

4. まとめ

漸化式の問題では

どのパターンか見分ける

初手を覚える

この2点が重要です。

 

漸化式は苦手な人が多い分野なので、公式と解法をしっかり覚えて周りと差をつけよう。

 

「漸化式」の公式を、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。

PDFはこちら

数B 数列 漸化式 まとめ 一覧  公式

 

漸化式のフローチャートを、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。

PDFはこちら

数B 数列 漸化式 まとめ 一覧 公式 フローチャート

 

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