数学A

【高校数学A】合同式(mod)とは?(問題・解説・公式)

このページでは、数学Aの「合同式」について解説します。

合同式の公式、計算方法を具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます

問題集を解く際の参考にしてください!

数A 合同式 まとめ 一覧 解答 公式 アイキャッチ

 

1. 合同式(mod)とは

合同式とは、割り算の余りが等しいことを表現した式のことです。

数A 合同式とは まとめ  公式 

例えば…

 

\(9\) を \(4\) で割った余りと \(5\) を \(4\) で割った余りは同じなので

\(
\bbox[#F4E2E2, 3pt, border:]{9 \equiv 5 \pmod 4}\\ \\
\)

 

\(28\) を \(5\) で割った余りと \(13\) を \(5\) で割った余りは同じなので

\(
\bbox[#F4E2E2, 3pt, border:]{28 \equiv 13 \pmod 5}\\
\)

 

となります。

 

 

\(
37 \equiv 22 \equiv 2 \pmod 5\\ \\
99 \equiv 49 \equiv 9 \equiv -1 \pmod 5\\
\)

 

のように横に続けて書くこともできますが、

 

\(
99 \equiv 49 \pmod 5\\
49 \equiv 9 \pmod 5\\
9 \equiv -1 \pmod 5\\
\)

のように、一行ずつ書く方が一般的です。

そのとき、\( \pmod 5\) は毎回書かなければいけません。

 

 

2. 合同式の足し算・引き算・掛け算

合同式は方程式と同じように、足したり引いたり掛けたりできます。

公式

\(
\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b},\ \ \ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{d} \ \ のとき \ \ \pmod m\\ \\
\mathbf{和}\hspace{15pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}+\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}+\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{d}\\ \\
\mathbf{差}\hspace{15pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}-\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}-\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{d}\\ \\
\mathbf{積}\hspace{25pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{d}\\
\)

 

特に、\(\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{d}=\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c}\) のときを考えると次の公式が成り立ちます。

 

公式

\(
\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b},\ \ \ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \ \ のとき \ \ \pmod m\\ \\
\mathbf{和}\hspace{15pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}+\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}+\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c}\\ \\
\mathbf{差}\hspace{15pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}-\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}-\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c}\\ \\
\mathbf{積}\hspace{25pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c} \equiv \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{b}\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{c}\\
\)

 

例えば…

\(
\hspace{ 15pt }31 \equiv 23 \pmod 4\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺に\ -23\ すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }8 \equiv 0 \pmod 4\\
\)

このように両辺から同じ数を引くことができます。

 

 

例えば…

\(
\hspace{ 15pt }12 \equiv -2 \pmod 5\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺に\ ×5\ すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }60 \equiv -10 \pmod 5\\
\)

このように両辺に同じ数をかけることができます。

 

 

3. 合同式の割り算

合同式は、わり算だけ特殊なので気をつけなければいけません。

公式

\(
a\ と\ m\ が互いに素のとき\ \pmod m\\ \\
\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}x \equiv \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{a}y\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ x \equiv y \\
\)

例えば…

\(
\hspace{ 15pt }15 \equiv 45 \pmod {10}\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺に\ ÷5\ すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }1 \equiv 3 \pmod {10}\\
\)

このように両辺を \( 5 \) で割ってはいけません。

\(5\) と \(10\) が互いに素(最大公約数が \(1\) )なので割ることはできません。

 

 

例えば…

\(
\hspace{ 15pt }15 \equiv 45 \pmod {10}\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺に\ ÷3\ すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }5 \equiv 15 \pmod {10}\\
\)

\(3\) と \(10\) が互いに素(最大公約数が \(1\) )なので割ることができます。

 

 

3. 合同式の累乗

公式

\(
a \equiv b\ \ のとき \ \ \pmod m\\ \\
\mathbf{累乗}\hspace{15pt }a^{\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{n}}+b^{\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{n}}\\
\)

例えば…

\(
\hspace{ 15pt }5 \equiv 13 \pmod {4}\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺を\ 10\ 乗すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }5^{10} \equiv 13^{10} \pmod {4}\\
\)

このように、両辺を累乗することができます。

この公式を使って余りの問題を解いてみます。

 

問題

\(15\ の\ 50\ 乗を \ 7\ で割った余りを求めよ。\)

解答

\(
\hspace{ 15pt }15 \equiv 1 \pmod {7}\\ \\
\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{両辺を\ 50\ 乗すると}\\ \\
\hspace{ 15pt }15^{50} \equiv 1^{50} \pmod {7}\\ \\
\hspace{ 15pt }15^{10} \equiv 1 \pmod {4}\\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 20pt }\color{#ef5350}{余り 1}
\) 

 

 

4. 合同式の問題

4.1 合同式の計算

問題

\(
次の合同式を解け。\\ \\
(1) x+4 \equiv 2 \pmod {6}\\ \\
(2) 3x \equiv 4 \pmod {5}\\
\)

(1)の解き方

(1)の解答

\(
\hspace{ 15pt }x+4 \equiv 2 \pmod {6}\\ \\
両辺に\ -4\ すると\\ \\
\hspace{ 15pt }x \equiv -2 \pmod {6}\\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 20pt }\color{#ef5350}{x \equiv 4 \pmod {6}}
\) 

(2)の解き方

(2)の解答

\(
\hspace{ 15pt }3x \equiv 4 \pmod {5}\\ \\
両辺に\ ×2\ すると\\ \\
\hspace{ 15pt }6x \equiv 8 \pmod {5}\\ \\
よって\\ \\
\hspace{ 20pt }\color{#ef5350}{x \equiv 3 \pmod {5}}
\) 

 

4.2 合同式と余り

問題

\( 合同式を利用して、次のものを求めよ。\\ \\
(1)\ \ \ 13^{100}\ を \ 9\ で割った余り\\ \\
(2)\ \ \ 2000^{2000}\ を\ 12\ で割った余り\\ \\
(3)\ \ \ 47^{2011}\ の一の位の数\\
\)

(1)の解き方

数A 合同式 余り 問題 解き方  

(1)の解答

数A 合同式 余り 問題 解答

(2)の解き方

数A 合同式 余り 問題 解き方  

(2)の解答

数A 合同式 余り 問題 解答

(3)の解き方

数A 合同式 余り 問題 解き方  

(3)の解答

数A 合同式 余り 問題 解答

 

 

6. 合同式の問題一覧

合同式の問題は、以下のページでまとめているのでチェックしてみてください。 

 

 

 

5. まとめ

以上が、合同式の公式と問題一覧です。

 

合同式の問題では

① 余りが1になる累乗

② 余りの周期

 

この2つを探すことが重要です。

 

合同式は苦手な人が多い分野なので、公式と解法をしっかり覚えて周りと差をつけよう。

 

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