このページでは、数学Ｂの「∑シグマの公式・計算方法」をまとめました。
教科書の∑シグマに関する問題を一覧にして、具体的に解きながらわかりやすく解説していきます。
「∑シグマの公式」と「等比数列の和の公式」を使うときの見分け方も説明しています。
問題集を解く際の参考にしてください！
目次
1. Σの公式
Σの基本公式です。まずはこの公式を暗記しましょう。
次は、Σの上の \(n\) が \(n-1\) になった公式です。
Σの上の \(n\) が \(n-1\) に変わったときは、Σの基本公式の \(n\) の部分に \(n-1\) を代入します。
それを計算すると、Σの基本公式の ＋ がすべて － に変わります。
いちいち計算するのは面倒なので、Σの上の \(n\) が \(n-1\) のときは、Σの基本公式の ＋ がすべて － に変わると覚えます。
2. Σの性質
Σの性質です。
3. Σの解き方
3.1 Σの公式
次の和を求めよ。
\(
(1) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k-1) \\ \\
(2) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2-3k+2) \\ \\
(3) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k^2+1) \\ \\
(4) \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) \\ \\
(5) \displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (2k+3) \\
\)
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (4k-1)\\ \\
= 4 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k} -
\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} }\\ \\
= 4・\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)} -
\bbox[#FFF2CC, 5pt, border:]{n} \\ \\
= \color{#ef5350}{n(2n+1)} \\
\)
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^2-3k+2)\\ \\
= \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 }- 3\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k}+ 2 \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\\ \\
= \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }- 3・\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}+2 \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{n}\\ \\
= \bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}}\{n(n+1)(2n+1)-\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{9}n(n+1)+\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{12}n\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{6}n\{(n+1)(2n+1)-9(n+1)+12\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{6}n\{2n^2+3n+1-9n-9+12\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{6}n(2n^2-6n+4)\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{3}n(n^2-3n+2)\\ \\
= \color{#ef5350}{\displaystyle \frac{1}{3}n(n-1)(n-2)}\\
\)
\(\displaystyle\frac{1}{6}\) でくくるとき全ての項に \(6\) を掛けます。
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k^2+1)\\ \\
= \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3 }+\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k}\\ \\
= \bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{4}n^2(n+1)^2} +\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\\ \\
= \bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{4}}\{n^2(n+1)^2+\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{2}n(n+1)\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{4}n(n+1)\{n(n+1)+2\}\\ \\
= \displaystyle \color{#ef5350}{\frac{1}{4}n(n+1)(n^2+n+2)} \\
\)
\(\displaystyle\frac{1}{4}\) でくくるとき全ての項に \(4\) を掛けます。
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)\\ \\
= 2\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k }+\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} }\\ \\
= 2・\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)}+\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{(n-1)} \\ \\
= n(n-1)+(n-1)\\ \\
= \color{#ef5350}{(n-1)(n+1)}\\
\)
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} (2k+3)\\ \\
= 2\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k }+3\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} }\\ \\
= 2・\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}2n(2n+1)}+3・\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{2n} \\ \\
= 2n(2n+1)+6n\\ \\
= 2n\{(2n+1)+3\}\\ \\
= 2n(2n+4)\\ \\
= \color{#ef5350}{4n(n+2)}\\
\)
Σの公式の \(n\) のところに \(2n\) を代入します。
3.2 Σの公式を使わないとき
次の和を求めよ。
\(
(1) \displaystyle \sum_{k=1}^{n} 5^{k-1} \\ \\
(2) \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \\
\)
Σの右がこの形なら、∑の公式を使わないで等比数列の和の公式を使います。
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}\\ \\
= 1 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} \\ \\
初項 \ 1，公比 \ 5，項数 \ n \ の等比数列の和 \\ \\
= \displaystyle \frac{1(5^n-1)}{5-1} \\ \\
= \displaystyle \color{#ef5350}{\frac{5^n-1}{4}}\\
\)
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k\\ \\
= 3^1 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} \\ \\
初項 \ 3，公比 \ 3，項数 \ n-1 \ の等比数列の和\\ \\
= \displaystyle \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} \\ \\
= \color{#ef5350}{\displaystyle \frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}\\
\)
3.3 和の計算（第\(\ n\ \)項がある）
次の和を求めよ。
\(
1 \cdot 1+2 \cdot 7+3 \cdot 13 +\ \cdots\cdots\ + n(6n-5)\\
\)
\(
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(6k-5)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (6k^2-5k)\\ \\
= 6\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 }- 5\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k}\\ \\
= 6\cdot\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }- 5 \cdot \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\\ \\
= n(n+1)(2n+1)-\displaystyle \frac{5}{2}n(n+1)\\ \\
= \bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}}\{\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{2}n(n+1)(2n+1)-\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{5}n(n+1)\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\{2(2n+1)-5\}\\ \\
= \color{#ef5350}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(4n-3)}\\
\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\) でくくるとき全ての項に \(2\) を掛けます。
3.4 和の計算（第\(\ n\ \)項がない）
次の数列の初項から第\(\ n\ \)項までの和\(\ S_n\ \)を求めよ。
\(
1 \cdot 3，\ 2 \cdot 5，\ 3 \cdot 7，\ 4 \cdot 9 \ \cdots\cdots\\
\)
\(
\bbox[#DAE3F3, 1pt, border:]{1} \cdot \bbox[#FBE5D6, 1pt, border:]{3}，\ \bbox[#DAE3F3, 1pt, border:]{2} \cdot \bbox[#FBE5D6, 1pt, border:]{5}，\ \bbox[#DAE3F3, 1pt, border:]{3} \cdot \bbox[#FBE5D6, 1pt, border:]{7}，\ \bbox[#DAE3F3, 1pt, border:]{4} \cdot \bbox[#FBE5D6, 1pt, border:]{9}\ \cdots\cdots
\\ \\
\bbox[#DAE3F3, 2pt, border:]{左}\ ＝\ 1，\ 2，\ 3，\ 4\ \cdots\cdots\\ \\
∴\ \ \ \bbox[#DAE3F3, 2pt, border:]{第\ n \ 項} =\ \bbox[#DAE3F3, 2pt, border:]{n}\\ \ \\ \ \\
\bbox[#FBE5D6, 2pt, border:]{右}\ ＝\ 3，\ 5，\ 7，\ 9\ \cdots\cdots\\
\hspace{ 20pt }初項 \ 3，公差 \ 2 \ の等差数列\\ \ \\
∴\ \ \ \bbox[#FBE5D6, 2pt, border:]{第\ n \ 項} =\ 3+(n-1) \cdot 2\\
\hspace{ 48pt }=\bbox[#FBE5D6, 2pt, border:]{2n+1}\\ \\
求める数列の和は\\ \\
1 \cdot 3，\ 2 \cdot 5，\ 3 \cdot 7，\cdots\cdots，\ n \cdot (2n+1)\\ \\
よって\\ \\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(2k+1)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k^2+k)\\ \\
= 2\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 }+ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k}\\ \\
= 2\cdot\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }+\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \\
= \bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}}\{\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{2}n(n+1)(2n+1)+\bbox[#D9D9D9, 2pt, border:]{3}n(n+1)\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\{2(2n+1)+3\}\\ \\
= \color{#ef5350}{\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(4n+5)}\\
\)
\(\displaystyle\frac{1}{6}\) でくくるとき全ての項に \(6\) を掛けます。
3.5 和の計算（項が和の形）
次の数列の初項から第\(\ n\ \)項までの和\(\ S_n\ \)を求めよ。
\(
2，\ 2+5，\ 2+5+8，\ 2+5+8+11，\ \cdots\cdots\\
\)
\(
2，\ 2+5，\ 2+5+8，\ 2+5+8+11，\ \cdots\cdots\\ \\
\bbox[#DAE3F3, 2pt, border:]{第\ n \ 項}\ ＝\ 2+5+8+11\ \cdots\cdots\\
\hspace{ 40pt }初項 \ 2，公差 \ 3，項数 \ n \ の等差数列の和\\ \\
\hspace{ 32pt }=\ \displaystyle\frac{n}{2}\{2 \cdot 2+(n-1) \cdot 3\}\\ \\
\hspace{ 32pt }=\ \displaystyle\frac{n}{2}(4+3n-3)\\ \\
\hspace{ 32pt }=\bbox[#DAE3F3, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{n}{2}(3n+1)}\\ \\ \ \\
求める数列の和は\\ \\
2，\ 2+5，\ 2+5+8，\ \cdots\cdots，\displaystyle \frac{n}{2}(3n+1)\\ \\
よって\\ \\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2}(3k+1)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{3}{2}k^2+\frac{k}{2}\right)\\ \\
= \displaystyle \frac{3}{2}\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 }+ \displaystyle \frac{1}{2}\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k}\\ \\
= \displaystyle \frac{3}{2}\cdot\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\frac{1}{2}n(n+1)}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{4}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle \frac{1}{4}n(n+1)\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{4}n(n+1)\{(2n+1)+1\}\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{4}n(n+1)(2n+2)\\ \\
= \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)(n+1)\\ \\
= \color{#ef5350}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)^2}\\
\)
4. 数列の公式一覧
数学Ｂ「数列」の∑シグマ・漸化式の公式一覧を、PDFファイルでA4プリント１枚にまとめました。
Σシグマは苦手な人が多い分野です。まずは公式を覚えて、演習を繰り返してください。
5. ∑シグマ 漸化式の問題
数学Ｂ「数列」の教科書の問題と解答をプリントにまとめています。
教科書の問題は出版社によって異なりますが、主要な教科書に目を通し、すべての問題を網羅するように作っています。
