数学Ⅱ

【高校数学Ⅱ】高次方程式 解き方一覧(因数分解・置換・組立除法)

このページでは、数学Ⅱの「高次方程式の解き方」についてまとめています。

高次方程式とは、3次以上の方程式のことです。

ここでは、3次方程式、4次方程式を扱います。

 

高次方程式の解き方は、因数分解、置換、組立除法の3パターンあります。

それぞれの公式や計算方法を,具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。

問題集を解く際の参考にしてください!

 

1. 高次方程式の解き方

1.1 因数分解

問題

\(
次の方程式を解け。\\ \\
\hspace{ 10pt }x^3=8\\
\)

解き方

因数分解 公式

解答

\(x^3=8\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{x^3-8}=0\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{(x-2)(x^2+2x+4)}=0\\ \\ \\
x-2=0\hspace{ 10pt }のとき\\ \\
\hspace{ 20pt }x=2\\ \\ \\
x^2+2x+4=0\hspace{ 10pt }のとき\\ \\
\hspace{ 20pt }x=\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{ 4-16 }}{2}\\ \\
\hspace{ 20pt }x=\displaystyle\frac{-2\pm2\sqrt{ 3 }\ i}{2}\\ \\
\hspace{ 20pt }x=-1+\sqrt{ 3 }\ i\\ \\ \\
よって\\
\hspace{ 20pt }\color{#ef5350}{x=2,-1+\sqrt{ 3 }\ i}\\ \)

 

1.2 置き換え

問題

\(
次の方程式を解け。\\ \\
\hspace{ 10pt }x^4+x^2-12=0\\
\)

解き方

置き換え やり方

解答

\(x^4+x^2-12=0\\ \\
(\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{x^2})^2+\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{x^2}-12=0\\ \\
\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{x^2}=\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{A}\hspace{ 10pt }とおく\\ \\
\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{A}^2+\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{A}-12=0\\ \\
(A+4)(A-3)=0\\ \\
\hspace{ 10pt }\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{A}=-4,3\\ \\
\hspace{ 10pt }\bbox[#DEEBF7, 2pt, border:]{x^2}=-4,3\\ \\ \\
x^2=-4\hspace{ 10pt }のとき\\ \\
\hspace{ 10pt }x=\pm\sqrt{-4}\\ \\
\hspace{ 10pt }x=\pm\sqrt{4}\ i\\ \\
\hspace{ 10pt }x=\pm2\ i\\ \\ \\
x^2=3\hspace{ 10pt }のとき\\ \\
\hspace{ 10pt }x=\pm\sqrt{3}\\ \\
よって\\
\hspace{ 20pt }\color{#ef5350}{x=\pm2\ i,\pm\sqrt{ 3 }} \\ \)

 

1.3 組立除法

問題

\(
次の方程式を解け。\\ \\
\hspace{ 10pt }x^3-4x^2+x+6=0\\
\)

解き方

組立除法のやり方 1枚目

組立除法のやり方 2枚目

組立除法のやり方 3枚目

組立除法のやり方 4枚目

組立除法のやり方 5枚目

組立除法の余りはいつも \( 0 \) になります。

解答

組立除法 解答

高次方程式の解法を3パターン紹介しましたが、実際は組立除法を使うパターンがほとんどです。

組立除法のやり方はこちらのページで詳しく説明しているので、チェックしてみてください。

 

 

4. 公式まとめ

数学Ⅱ「複素数と方程式」の公式を、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。

演習の際にご活用下さい。

ダウンロードはこちら

複素数と方程式 公式 まとめ

5. 高次方程式の問題

数学Ⅱ「複素数と方程式」の教科書の問題と解答をプリントにまとめています。

教科書の問題は出版社によって異なりますが、主要な教科書に目を通し、すべての問題を網羅するように作っています。

ぜひチェックしてみてください。

 

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