このページでは、数学Ｂの教科書に載っている「漸化式」をまとめています。
漸化式の見分け方と計算方法を、具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。
問題集を解く際の参考にしてください！
目次
1. 漸化式の種類
数字のある場所で見分けます。
まずは、数字のある場所で、どのパターンの漸化式なのか覚えましょう。
2. 漸化式の解き方
2.1 \( a_{n+1}=a_n + □ \)（等差数列）
\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n + 3 \) によって定められる数列\(｛a_n｝\)の一般項を求めよ。
\(初項 \ 2 \ ，公差 \ 3 \ の等差数列なので\\ \\
a_n = 2+(n-1)・3 \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{3n-1}\\
\)
2.2 \( a_{n+1}=△a_n \)（等比数列）
\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n \) によって定められる数列\(｛a_n｝\)の一般項を求めよ。
\(初項 \ 1 ，公差 \ 2 \ の等比数列\\ \\
a_n = 1・2^{n-1} \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{2^{n-1}}\\
\)
2.3 \( a_{n+1}=a_n+(n の式) \)（階差数列）
\(次の条件によって定まる数列 \ ｛a_n｝ \ の一般項を求めよ。\\ \\
(1) a_1=1，a_{n+1}=a_n+3^n \\ \\
(2) a_1=0，a_{n+1}=a_n+2n+1 \\
\)
\(
n ≧ 2 のとき\\ \\
a_n = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \\ \\
\hspace{ 7pt } = 1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} \\ \\
\hspace{ 25pt } 初項 \ 1，公比 \ 3，項数 \ n \ の等比数列の和\\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle\frac{1・(3^n-1)}{3-1} \\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle \frac{3^n-1}{2}\\ \\ \\
n = 1 のとき\\ \\
a_1 = \displaystyle\frac{3-1}{2} \\ \\
\hspace{ 10pt } = 1 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{\displaystyle{\frac{3^n-1}{2}}}\\
\)
\(
n ≧ 2 のとき \\ \\
a_n = 0+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k + \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \\ \\
\hspace{ 8pt }= n(n-1) + (n-1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= (n+1)(n-1) \\ \\ \\
n = 1 のとき \\ \\
a_1 = (1-1)(1+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 0 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n = \color{#ef5350}{(n-1)(n+1)}\\
\)
2.4 \( a_{n+1}=△a_n+□ \)（特性方程式）
\(a_1=6\)，\(a_{n+1}=3a_n-8 \) によって定められる数列\(｛a_n｝\)の一般項を求めよ。
特性方程式から等比数列タイプの漸化式に帰着させます。
\(a_1=5\)，\(a_{n+1}=4a_n-6 \) によって定められる数列\(｛a_n｝\)の一般項を求めよ。
3. 漸化式の応用問題
漸化式の応用問題はこちらのページで詳しく解説しています。
ぜひチェックしてみてください。
4. 数列の公式一覧
数学Ｂ「数列」の公式一覧を、PDFファイルでA4プリント１枚にまとめました。
