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【高校数学B】漸化式 基本パターン(等差・等比・階差・特性方程式)

このページでは、数学Bの教科書に載っている「漸化式」をまとめています。

漸化式の見分け方と計算方法を、具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。

問題集を解く際の参考にしてください!

【高校数学B】漸化式 基本パターン(等差・等比・階差・特性方程式)

 

1. 漸化式の種類

公式

【高校数学B】漸化式 基本パターン(等差・等比・階差・特性方程式)

数字のある場所で見分けます。

まずは、数字のある場所で、どのパターンの漸化式なのか覚えましょう。

 

2. 漸化式の解き方

2.1 \( a_{n+1}=a_n + □ \)(等差数列)

問題

\(a_1=2\),\(a_{n+1}=a_n + 3 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ

解き方

漸化式の解き方 等差数列

解答

\(初項  \ 2 \ ,公差 \  3 \ の等差数列なので\\ \\
a_n = 2+(n-1)・3 \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{3n-1}\\
\)

 

2.2 \( a_{n+1}=△a_n \)(等比数列)

問題

\(a_1=1\),\(a_{n+1}=2a_n \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ

解き方

漸化式の解き方 等比数列

解答

\(初項 \ 1 ,公差 \ 2 \ の等比数列\\ \\
a_n = 1・2^{n-1} \\ \\
\hspace{ 10pt }= \color{#ef5350}{2^{n-1}}\\
\) 

 

2.3 \( a_{n+1}=a_n+(n の式) \)(階差数列)

問題

\(次の条件によって定まる数列 \ {a_n} \ の一般項を求めよ。\\ \\
(1) a_1=1,a_{n+1}=a_n+3^n \\ \\
(2) a_1=0,a_{n+1}=a_n+2n+1 \\
\)

解き方

漸化式の解き方 階差数列

(1) の解答

\(
n ≧ 2 のとき\\ \\
a_n = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \\ \\
\hspace{ 7pt } =  1 + 3^1 + 3^2 + 3^3 +  \cdots + 3^{n-1}  \\ \\
\hspace{ 25pt } 初項 \ 1,公比 \ 3,項数 \ n \ の等比数列の和\\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle\frac{1・(3^n-1)}{3-1} \\ \\
\hspace{ 10pt } = \displaystyle \frac{3^n-1}{2}\\ \\ \\
n = 1 のとき\\ \\
a_1 = \displaystyle\frac{3-1}{2} \\ \\
\hspace{ 10pt } = 1 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n =\displaystyle \color{#ef5350}{\displaystyle{\frac{3^n-1}{2}}}\\
\)

(2) の解答

\(
n ≧ 2 のとき \\ \\
a_n = 0+ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k + \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \\ \\
\hspace{ 8pt }= n(n-1) + (n-1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= (n+1)(n-1) \\ \\ \\
n = 1 のとき \\ \\
a_1 = (1-1)(1+1) \\ \\
\hspace{ 8pt }= 0 \\ \\ \\
よって\\ \\
a_n = \color{#ef5350}{(n-1)(n+1)}\\
\)

 

2.4 \( a_{n+1}=△a_n+□ \)(特性方程式)

問題

\(a_1=6\),\(a_{n+1}=3a_n-8 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解き方

漸化式の解き方 特性方程式

解答

漸化式の解法 特性方程式

特性方程式から等比数列タイプの漸化式に帰着させます。

 

問題

\(a_1=5\),\(a_{n+1}=4a_n-6 \) によって定められる数列\({a_n}\)の一般項を求めよ。

解答

漸化式の解答 特性方程式

 

3. 漸化式の応用問題

漸化式の応用問題はこちらのページで詳しく解説しています。

ぜひチェックしてみてください。

 

 

4. 数列の公式一覧

数学B「数列」の公式一覧を、PDFファイルでA4プリント1枚にまとめました。

演習の際にご活用下さい。

PDFはこちら数列 公式 まとめ

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