数学A

【高校数学A】不定方程式 整数解の求め方 全パターン(解き方・計算方法)

 

このページでは、数学Aの「1次不定方程式」について解説します。

1次不定方程式の整数解の見つけ方と計算方法を具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。全部で5パターンに分けています。

問題集を解く際の参考にしてください!

【高校数学A】不定方程式 整数解の求め方 全パターン(解き方・計算方法)

 

1. 1次不定方程式とは

不定方程式の説明 不定方程式とは

 

2. 1次不定方程式の種類

1次不定方程式の問題は全部で5パターンある。

1次不定方程式 種類

具体例で表すと

1次不定方程式 種類 具体例 

ただし⑤は、②③、②④、③④、②③④の4通り考えられる。

 

3. 1次不定方程式の整数解の見つけ方

1次不定方程式 整数解 見つけ方

 

4. 自力で探す

4.1 自力で探す①

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \ \\(1) 13x+8y=7\\ \\
(2) 7x-5y=1\\ \)

解き方

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力

(1)の解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力 問題 解答

(2)の解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力 問題 解答

 

4.2 自力で探す②

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \ \\(1) 4x-7y=6\\ \\
(2) 13x-8y=12\\ \)

解き方

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力 問題 解説

(1)の解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力 問題 解答

(2)の解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 自力 問題 解答

 

5. 互除法で探す

このページでは、ユークリッドの互除法を簡略化した計算方法を紹介しています。

ユークリッドの互除法については、「ユークリッドの互除法(不定方程式・解き方・計算方法・裏技)」で詳しく説明しているので、チェックしてみてください。

 

5.1  (大) \(x+\) (小) \(y=1\) (基本パターン)

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }130x+31y=1\)

解き方

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

 

5.2  (小) \(x+\) (大) \(y=1\) (大小が逆)

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }35x+109y=1\)

解き方

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解説

解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

 

5.3  (大) \(x-\) (小) \(y=1\) (符号が逆)

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }61x-27y=1\)

解き方

\(61x-27y=1\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }61x+27y=1\)の整数解の1つ \(x=4,y=-9\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }61(4)+27(-9)=1\\ \\
\hspace{20pt }61(4)-27(9)=1 \\ \)

解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

 

5.4  (大) \(x+\) (小) \(y=\)(\(1\) 以外) (右辺が \(1\) 以外)

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }33x+14y=3\)

解き方

\(33x+14y=3\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }33x+14y=1\)の整数解の1つ \(x=3,y=-7\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }33(3)+14(-7)=1\\ \\
\hspace{20pt }33(9)+14(-21)=3 \\ \)

解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

 

5.5  (小) \(x-\) (大) \(y=\)(\(1\) 以外) (MIX)

問題

次の等式を満たす整数 \(x,y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }19x-24y=3\)

解き方

\(19x-24y=3\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }24x+19y=1\)の整数解の1つ \(x=4,y=-5\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }19(-5)+24(4)=1\\ \\
\hspace{20pt }19(-5)-24(-4)=1\\ \\
\hspace{20pt }19(-15)-24(-12)=3 \\ \)

解答

1次不定方程式 1つの解 見つけ方 ユークリッド互除法 問題 解答

 

6. まとめ

以上が、1次不定方程式の整数解の求め方全パターンです。

記述試験でなければ、このやり方で少しでも時間短縮しましょう。

ユークリッドの互除法については、「ユークリッドの互除法(不定方程式・解き方・計算方法・裏技)」で詳しく説明しているので、チェックしてみてください。

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