このページでは、数学Ａの「１次不定方程式」について解説します。
１次不定方程式の整数解の見つけ方と計算方法を，具体的に問題を解きながらわかりやすく解説していきます。全部で５パターンに分けています。
問題集を解く際の参考にしてください！
目次
1. １次不定方程式とは
2. １次不定方程式の種類
１次不定方程式の問題は全部で５パターンある。
具体例で表すと
ただし⑤は、②③、②④、③④、②③④の４通り考えられる。
3. １次不定方程式の整数解の見つけ方
4. 自力で探す
4.1 自力で探す①
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \ \\(1) 13x+8y=7\\ \\
(2) 7x-5y=1\\ \)
4.2 自力で探す②
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \ \\(1) 4x-7y=6\\ \\
(2) 13x-8y=12\\ \)
5. 互除法で探す
このページでは、ユークリッドの互除法を簡略化した計算方法を紹介しています。
ユークリッドの互除法は、以下のページで詳しく説明しているので、ぜひチェックしてみてください。
5.1 (大) \(x+\) (小) \(y=1\) （基本パターン）
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }130x+31y=1\)
5.2 (小) \(x+\) (大) \(y=1\) （大小が逆）
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }35x+109y=1\)
5.3 (大) \(x-\) (小) \(y=1\) （符号が逆）
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }61x-27y=1\)
\(61x-27y=1\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }61x+27y=1\)の整数解の１つ \(x＝4，y=-9\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }61(4)+27(-9)=1\\ \\
\hspace{20pt }61(4)-27(9)=1 \\ \)
5.4 (大) \(x+\) (小) \(y=\)(\(1\) 以外) （右辺が \(1\) 以外）
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }33x+14y=3\)
\(33x+14y=3\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }33x+14y=1\)の整数解の１つ \(x＝3，y=-7\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }33(3)+14(-7)=1\\ \\
\hspace{20pt }33(9)+14(-21)=3 \\ \)
5.5 (小) \(x-\) (大) \(y=\)(\(1\) 以外) （MIX）
次の等式を満たす整数 \(x，y\) の組を 1 つ求めよ。
\( \hspace{25pt }19x-24y=3\)
\(19x-24y=3\) も基本パターンを解いてから、式の帳尻を合わせる\(。 \\ \\ \)\( \hspace{0pt }24x+19y=1\)の整数解の１つ \(x＝4，y=-5\) を求めてから帳尻を合わせる。
\(\\ \\ \hspace{20pt }19(-5)+24(4)=1\\ \\
\hspace{20pt }19(-5)-24(-4)=1\\ \\
\hspace{20pt }19(-15)-24(-12)=3 \\ \)
以上が、１次不定方程式の整数解の求め方全パターンです。
記述試験でなければ、このやり方で少しでも時間短縮しましょう。
ユークリッドの互除法は、以下のページで詳しく説明しているので、ぜひチェックしてみてください。
6. ユークリッドの互除法の問題
数学Ａ「整数の性質」の教科書の問題と解答をプリントにまとめています。
教科書の問題は出版社によって異なりますが、主要な教科書に目を通し、すべての問題を網羅するように作っています。
